Écrire un système de n équations linéaires à n inconnues sous forme matricielle

Définition  Équation linéaire à  \(\boldsymbol{n}\) inconnues

Une équation linéaire à \(n\)  inconnues est une équation de la forme  \(\displaystyle\sum_{j=1}^na_jx_j=b\) , où les \(x_j\)  sont des inconnues et les  \(a_j\) et  \(b\) sont des réels fixés.

Système de  \(\boldsymbol{n}\) équations linéaires à  \(\boldsymbol{n}\) inconnues

Supposons maintenant que nous avons  \(n\) équations de ce type et numérotons-les ; ainsi l’équation « numéro 𝑖 » est de la forme :
\(\displaystyle\sum_{j=1}^na_{ij}x_j=b_i\)  où les  \(x_j\) sont les inconnues et les  \(a_{ij}\) et  \(b_i\) sont des réels fixés qui sont propres à cette équation.

Avez-vous reconnu à gauche une forme qui ressemble à un produit de matrice ? Posons :

• \(A\)  la matrice carrée de taille \(n\) , telle que \(A=(a_{ij})\)  ;
• \(X\)  le vecteur colonne dont les coefficients sont les \((x_j)\)  ;
• \(B\)  le vecteur colonne dont les coefficients sont les \((b_j)\) .

Le système se réécrit alors \(AX=B\) . C’est très intéressant, car résoudre ce système devient aussi simple (presque !) que résoudre l’équation  \(ax=b\) d’inconnue  \(x\) pour  \(a\) et  \(b\) des réels fixés dans  \(\mathbb{R}\) ! La seule difficulté est de vérifier si la matrice  \(A\) est inversible et de calculer son inverse.